Die gängige Beschreibung der Collatz Sequenz lautet: $$ C(n) =\begin{cases} {n/2} & {\text{wenn }}n\equiv 0{\pmod {2}}\\ 3n+1 & {\text{wenn }}n\equiv 1{\pmod {2}}. \end{cases}$$ Die Folge für $n$ ergibt sich durch Iteration dieser Vorschrift bis $n=1$ mit $C(1) = 1$.

Zieht man $L$ aufeinanderfolgenden Divisionen durch Zwei zu einem Schritt zusammenz, so lässt sich die Definition vereinfachen. Hierzu reicht es nur die ungeraden $n$ zu betrachten. Da $3n+1$ dann immer gerade ist, lässt sich schreiben: $$ C(n, L) = \frac{(3n+1)}{2} / 2^L \quad \text{ mit } n\equiv 1{\pmod {2}}$$ Als Binärzahl betrachtet bedeutet dies, dass man einfach alle ($L+1$) Nullen am Ende tilgt.
Als Beispiel die Collatz Folge für den Startwert $n=9$:

$n$$3n+1$binär $L$

Somit erhält man für die Folge von $n$ zusätzlich eine Folge für $L$. Für den Startwert $n=9$ lautet sie: $$L: [1,0,0,1,2,3,1]$$ Da nun $n$ immer ungerade ist, kann man mit $n = 2k+1$ substituieren und erhält damit eine etwas andere Folge: $$ k^- = K^-(k, L) = ((3k+2) / 2^L - 1)/2$$ Diese verminderten Collatz Folgen enden also statt auf $n=1$ jeweils auf $k=0$.

Binär betrachtet bedeutet die zunächst etwas komliziert aussehende Operation $N \gets (N/2^L-1)/2$, dass man die hinteren $L$ Nullen streicht und zusätzlich noch eine führende 1.

Als Beispiel wieder die Collatz Folge mit den Startwerten $n=9$ bzw. $k=4$:

$n$ $k$$3k+2$ binär $L$$K^-$

Betrachtet man die Folge der $L$ für verschiedene Startwerte von $k$ erhält man folgendes Bild:

$k$$k^-$$L_i$

Der Zerfall einer Zahl $k$ erfolgt offensichtlich nach einem erkennbaren Schema hin zum Endwert $n=0$. Um dieses genauer zu ergründen untersuchen wir daher stattdessen den Aufbau der Folgen. Das heisst wir betrachten die Umkehrfunktion von $K^-$ mit: $$K^+(k,L) = k^+ = (2^L(2k+1)-2)/3$$ und drehen die Folgen $L_i$ um. Im Folgenden wird wichtig sein, ob $L$ gerade oder ungrade ist.

$k^+$ $k$ $L_i$

Damit ein ganzzahliger Wert für $k^+$ existiert muss offensichtlich $2^L(2k+1)-2$ durch drei teilbar sein. Durch Analyse der Tabelle stellt sich heraus, dass dies erfüllt wird für ungerade $L$ wenn $k \equiv 0 \pmod{3}$ und für gerade $L$ wenn $k \equiv 2 \pmod{3}$, während für $k \equiv 1 \pmod{3}$ kein ganzzahlieger Wert für $k^+$ existiert.

Um dies zu zeigen verwendet man den Zusammenhang: $$ 4^l = 3g_l+1$$

für $k=3j+0$ und $L=2l+1$ gilt: $$ \begin{align} 3k^+ &= 2 \cdot 4^l (6j+1)-2 \\ &= 2(3g_l+1)(6j+1)-2 \\ &= 36 g_l j + 6 g_l + 12 j \\ &= 3(12g_l j + 2 g_l + 4 j) \\ \text{somit:}\\ k^+ &= 2g_l(6j+1) + 4 j \end{align} $$ für $k=3j+2$ und $L=2l$ gilt: $$ \begin{align} 3k^+ &= 4^l (6j+4+1)-2 \\ &= (3g_l+1)(6j+5)-1 \\ &= 18 j g_l + 15 g_l + 6j + 3\\ \text{somit:}\\ k^+ &= g_l(6j+5) + 2j +1 \end{align} $$